Cara Cepat Menentukan Rumus Suku Ke-n Barisan Aritmetika

Barisan Aritmetika
Ingin tahu bagaimana Cara Cepat Menentukan Rumus Suku Ke-n Barisan Aritmetika? Mari kita ikuti uraian berikut:  

Barisan Aritmetika adalah Barisan bilangan dimana selisih antara dua bilangan yang berdekatan selalu sama.
Contoh :
1.            3 , 7 , 11 , 15, …   
2.            6 , 8 , 10, 12, 14, …
 Pada contoh diatas : 
1.       7 – 3  =  11 – 7  =  15 -  11  = 4 
2.       8 – 6  = 10– 8  =12 – 10  = 14  -  12  = 2
Pada Contoh  1 :   Suku pertama ( U1 )  = 3   ,  U2  =  7    ,  U3  =  11  , dst..
                             Suku pertama dalam suatu barisan dilambangkan dengan  a  
                             Sedangkan Un  -  Un-1  disebut beda  ( b ). 
    Jadi   :   b = Un  -  Un-1    
Pada contoh 1  :      a  =  3   dan   b  =  4
Pada contoh  2  :     a  =  6    dan  b  =  2    
Untuk menentukan Rumus Suku ke – n  Barisan Aritmetika dapat menggunakan rumus
Un  =  a  +  ( n – 1 ) b
         Contoh :

Rumus suku ke – n dari contoh 1  :   3 , 7 , 11 , 15, …    adalah :   
Un   =  a  + ( n – 1 ) b
        =  3   + ( n – 1 ) 4
        =  3   + 4n  -  4
Un   =  4n  - 1


Rumus suku ke – n dari contoh 2    :   6 , 8 , 10, 12, 14, …   adalah :   
Un   =  a  + ( n – 1 ) b
        =  6  + ( n – 1 ) 2
        =  6   + 2n  -  2
Un   =  2n  + 4

Ingin Tahu cara yang lebih mudah menentukan rumus suku ke – n barisan aritmetika ?
Begini caranya:
Pada contoh 1:      3 , 7 , 11 , 15, …
 a  =  3   dan   b  =  4     ,  
 a  -  b   =   3  -  4  =  -1
Maka rumus suku ke – n nya adalah :    Un  =  4-  1

Pada contoh 2:      6 , 8 , 10, 12, 14, …
 a  =  6   dan   b  =  2     ,  
 a  -  b   =   6  -  2  =  4
Maka rumus suku ke – n nya adalah :    Un  =  2n  +  4
Inilah Cara Cepat Menentukan Rumus Suku Ke-n Barisan Aritmetika yang saya maksud.

Bagimana ? cukup mudah bukan ?  Ada pertanyaan ?  silahkan isi form komentar, tapi yang  ramah ya …
Salam Matematika  !!!

Mencari rata rata gabungan


Trik Menyelesaikan soal Matematika SMP : Mencari rata rata gabungan

 Salah satu soal yang menjadi “langganan” di UN adalah tentang mencari nilai rata-rata gabungan (keadaan Akhir)
Contoh soal :
Rata rata nilai Ulangan Matematika 25 siswa 6. Jika nilai 5 siswa lain yang rata-ratanya 8 dimasukkan, berapa nilai rata rata seluruh siswa sekarang ?
Untuk menjawab soal tersebut dapat dilakukan dengan cara-cara berikut:

 Dari soal di atas , Diketahui :  n1  =  25,       n2  =  5         x1  =  6,    dan   x2   =  8
 Masukkan nilai-nilai tersebut pada rumus:

Cara 2:  Buat  Tabel sebagai berikut:


 Cara 3 : 
                 
Itulah beberapa cara yang dapat digunakan untuk menghitung nilai rata-rata gabungan. Pilihlah yang menurut anda lebih mudah.  Semua cara sebenarnya sama, Cara 1 dan 2  berasal dari cara1 , hanya kami buat lebih mudah memahaminya.
Catatan :           Gabungan     =  Kelompok 1  +  Kelompok 2
Kelompok 1  =   Gabungan  -    Kelompok 2
Kelompok 2  =  Gabungan   -    Kelompok 1
Untuk lebih memahaminya, perhatikan contoh soal berikut:
Rata rata penghasilan 10 orang pekerja adalah Rp. 20.000,-   Ketika 2 orang tidak bekerja karena sakit, rata rata penghasilannya menjadi Rp. 18.000,-. Berapa rata rata penghasilan 2 orang tersebut jika bekerja ?
Jawab:

Gunakan Cara 3 :
Cukup sekian dulu, jika ada pertanyaan, silahkan tujukan lewat email   :



















Tantangan dan Tip bagi Guru-Guru Matematika

Sebagai Guru, banyak sekali tantangan yang harus dihadapi. Berbagai macam karakter siwa harus mendapat perhatian sebagaimana seharusnya. Guru tidak boleh memperlakukan siswa sama rata, terutama dalam melayani kebutuhan mereka. Berbagai karakter siswa harus  diarahkan dan dikembangkan sesuai bakat dan minatnya masing masing.
Tak jarang dalam upaya mengoptimalkan kemampuan siswa , justru seorang guru dihadapkan pada masalah yang rumit. Terkadang siswa kurang memahami maksud sang guru dan menimbulkan kesalahpahaman. Seorang guru yang selalu memperhatikan siswa agar selalu rapi, tertib dan disiplin, justru kadang dianggap sebagai guru yang "rewel" dan dijauhi atau "dibenci" oleh siswa, sementara guru yang tidak acuh pada masalah diatas justru dianggap sebagai guru yang baik dan disukai oleh siswa.
Tantangan terbesar biasanya dialami oleh Guru Matematika. Matematika yang sejak awal menjadi "momok" bagi siswa, memerlukan perhatian khusus oleh para Guru MAtematika. Pendekatan yang harus dilakukan oleh guru matematika haruslah "berbeda". Banyak guru matematika yang "tidak disukai" oleh siswa, bukan karena sang guru kurang menarik dalam menyampaikan meteri pelajaran, tapi karena tuntutan dari pelajaran matematika sendiri yang mengharuskan siswa banyak berlatih. Sementara sebagian besar siswa terutama di daerah pinggiran minat belajar matematikanya sangat rendah, malas berlatih dan menganggap metematika kurang berguna. Lalu bagaimana menyikapi tantangan tersebut di atas ?
 Berikut adalah sedikit Tips untuk Guru-Guru Matematika
1. Coba untuk tidak merengut, cemberut, bermuka masam, apalagi memarahi pada saat murid Anda salah dalam menjawab pertanyaan. Ini akan menghambat siswa dalam berpartisipasi. Siswa yang berpikir Kritis dan jujur lebih penting daripada jawaban yang benar.
2. Tidak ada pengajaran tanpa kontrol di kelas Anda.
3. Hindari berbicara lebih kepada siswa Anda, atau kata lainnya jangan banyak bicara. Jika Anda terlalu banyak bicara di dalam kelas, kadang-kadang hal terbaik untuk dilakukan adalah menghentikan pembicaraan. Jangan sampai Anda terkenal sebagai guru yang banyak bicara.
4. Mengajar secara Rutin dan terstruktur adalah baik, tetapi jika terlalu banyak dapat menyebabkan Anda dan kelas untuk jatuh ke dalam kebiasaan. Hati-hati jika siswa bosan dengan Anda. Cobalah untuk kegiatan berbeda-beda dari waktu ke waktu.
5. Doronglah partisipasi aktif dari siswa dan arahkan siswa-siswa Anda untuk belajar kelompok.
6. Cobalah untuk menjadi fleksibel. Matematika bisa menjadi topik kaku, tapi Anda tidak harus membuatnya kaku.
7. Cobalah untuk menguraikan beberapa topik yang akan keluar di ujian/tes. Mengatakan "Belajar Bab 6" kepada siswa Anda tidak cukup, khususnya bagi mereka yang memiliki kemauan belajar yang sangat rendah.
8. Jika siswa-siswa Anda menemui kesulitan dalam belajar kelompok, bimbinglah mereka dengan sabar dan teratur.
9. Cobalah untuk mengajar siswa dengan kemampuan pemecahan masalah yang baik.
10. Untuk memotivasi siswa, berikanlah penghargaan bagi siswa yang meraih nilai akademis yang baik dan yang berusaha dengan sungguh-sungguh.
11. Bertindaklah secara adil kepada siswa. Anda akan mendapatkan rasa hormat dari mereka dengan cara ini.
12. Jadilah Motivator terbaik yang dapat menghubungkan matematika dengan dunia nyata. Misalnya, ketika Anda sedang mengajarkan Geometri. Bawalah mereka untuk membayangkan benda-benda di sekeliling mereka, seperti roda yang bentuknya lingkaran, meja yang berbentuk persegi panjang, dan lain sebagainya.
Itulah beberapa tip yang bisa bermanfaat bagi guru dan siswa dalam belajar matematika.

Misteri Bilangan Prima

Bilangan merupakan bilangan yang penting dalam matematika, Tanpa bilangan prima sebagian persoalan  dalam matematika akan lebih sulit untuk diselesaikan. Banyak peroalan dalam matematika yang dapat dipermudah dalam menyelesaikannya dengan adanya bilangan prima.Oleh karena itu tidak mengherankan bila kita katakan bahwa bilangan prima ( konsep bilangan prima ) merupakan dewa penolong dalam mengatasi beberapa hal yang terkait matematika.
Mencari Kelipatan persekutuan terkecil, mencari Faktor persekutuan terbesar, menyamakan penyebut dalam operasi pecahan adalah sebagian contoh kecil yang terbantu dengan adanya bilangan prima. Boleh juga diakatan bahwa bilangan prima  termasuk salah satu misteri alam semesta. Tidak pernah terbayangkan olehmanusia sebelumnya, sampai ditemukan bahwa bilangan prima juga merupakan dasar dari kehidupan alam, yang dengan usaha keras ingin dijelaskan oleh ilmu ini dalam sains. Pandangan orang umumnya mengatakan bahwa matematika hanyalah penemuan manusia biasa. Sebaliknya, beberapa pemikir masa lalu - Pythagoras, Plato, Cusanus, Kepler, Leibnitz, Newton, Euler, Gauss, termasuk para revolusioner abad ke-20, Planck, Einstein dan Sommerffeld - yakin bahwa keberadaan angka dan bentuk geometris merupakan konsep alam semesta dan konsep yang bebas (independent).

Salah satu teka-teki lama yang belum sepenuhnya terpecahkan adalah bilangan prima. Bilangan prima adalah bilangan yang hanya dapat habis dibagi oleh bilangan itu sendiri dan angka 1. Angka 12 bukan merupakan bilangan prima, karena dapat habis dibagi oleh angka lainnya 2, 3, dan 4. Bilangan prima adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, .... dan seterusnya. Banyak bilangan prima tidak terhingga. Tidak peduli berapa banyak kita menghitung, pasti kita akan menemukan bilangan prima, walaupun mungkin makin jarang_ Hal ini menjadi teka-teki kita, jika kita ingat bilangan ini tidak dapat dibagi oleh angka lainnya. Salah satu hal yang menakjubkan, dalam era komputer kita memberikan kodetifikasi semua hal yang penting dan rahasia, di bank, asuransi, dan perhitungan-perhitungan peluru kendali, security system dengan enkripsi, dalam angka jutaan bilangan-bilangan yang tidak habis dibagi oleh angka lainnya. Ini diperlukan karena dengan penggunaan angka lain, kodetifikasi tadi dapat dengan mudah ditembus.

Fenomena inilah yang ditemukan ilmuwan dari Duesseldorf (Dr. Plichta), sehubungan dengan penciptaan alam, yaitu distribusi  misterius bilangan prima. Para ilmuwan sudah lama percaya bahwa bilangan prima adalah bahasa universal yang dapat dimengerti oleh semua makhluk (spesies) berintelegensia tinggi, sebagai komunikasi dasar antarmereka. Bahasa ini penuh misteri karena berhubungan dengan perencanaan universal kosmos.

Bilangan lain yang perlu diketahui adalah sisa dari bilangan prima, yakni bilangan komposit, kecuali angka 1, yaitu 4, 6, 8, 9,10,12,14,15, .... dan seterusnya. Dengan kata lain, bilangan komposit adalah bilangan yang terdiri dari  minimal dua faktor prima. Misalnya :

6 = 2 x 3 = 2 . 3
30 = 2 x 3 x 5 = 2 . 3 . 5
85 = 5 x 17 = 5 . 17

Selain itu, dikenal pula bilangan khusus, yang disebut prima kembar, yaitu bilangan prima yang angkanya
berdekatan dengan selisih 2. Misalnya :

(3,5)
(5,7)
(11,13)
(17,19)

dan seterusnya.
 
Mayoritas ahli astrofisika juga percaya bahwa di alam semesta terdapat  "kode kosmos"  atau yang disebut cosmic code based on this order,  yang dikenal juga sebagai Theory of Everything (TOE), yang artinya  terdapat konstanta-konstanta  alam semesta yang saling berhubungan berdasarkan perintah pendesain. Sekali perintah tersebut dapat dipecahkan, maka hal  ini akan membuka pandangan sains lainnya yang berhubungan.
Untuk informasi lengkap tentang matematika dan cara cepat menyelesaikan persoalan matematika silahkan klik disini

Ajarkan konsep matematika dengan cara yang menyenangkan



Matematika dipandang oleh banyak orang sebagai ilmu yang kering, abstrak, teoritis, penuh dengan lambang-lambang dan rumus-rumus rumit yang membingungkan. (Sumaji,dkk, 2003: 224) Bahkan dalam sebuah situs di Internet disebutkan bahwa ada banyak mitos yang berkembang di masyarakat terkait matematika. (www.sigmetris.com) Beberapa mitosnya yaitu:
· Mitos pertama, matematika adalah ilmu yang sangat sukar sehingga hanya sedikit orang atau siswa dengan IQ minimal tertentu yang mampu memahaminya.
· Mitos kedua, matematika adalah ilmu hafalan dari sekian banyak rumus.
· Mitos ketiga, matematika selalu berhubungan dengan kecepatan menghitung.
· Mitos keempat, matematika adalah ilmu abstrak dan tidak berhubungan dengan realita.
· Mitos kelima menyebutkan, matematika adalah ilmu yang membosankan, kaku, dan tidak rekreatif.
Mitos inilah yang kemudian membuat siswa berpandangan bahwa matematika sebagai mata pelajaran yang sulit, bahkan menakutkan bagi mereka. Keadaan ini akan mempengaruhi tingkat keberhasilan belajar siswa. (http://pkab.wordpress.com). Pihak yang berperan dalam menumbuhkembangkan mitos ini ternyata bukan hanya masyarakat saja. Mungkin tanpa sadar, beberapa dari pengajar sendiri sebenarnya turut ambil bagian. Mengapa demikian? Hal ini terkait dengan cara mengajar matematika yang salah (Sumaji,dkk, 1998: 234). Siswa diposisikan sebagai obyek, siswa dianggap tidak tahu atau belum tahu apa-apa, sementara guru memposisikan diri sebagai yang mempunyai pengetahuan. Guru ceramah dan menggurui, otoritas tertinggi adalah guru. Penekanan yang berlebihan pada isi dan materi diajarkan secara terpisah-pisah. Materi pembelajaran matematika diberikan dalam bentuk jadi. Penguasaan dan pemahaman siswa terhadap konsep-konsep matematika lemah karena tidak mendalam. Akibatnya, pengetahuan yang diterima siswa secara pasif menjadikan matematika tidak bermakna, (www.pmri.or.id) sehingga dengan cepat mereka akan melupakan apa yang telah dipelajari (Sumaji,dkk,2003: 234).
Salah satu cara untuk membenahi pengajaran matematika yang salah, adalah dengan membuat siswa belajar matematika menjadi bermakna. Pemahaman tersebut terbentuk bukan dengan menerima apa saja yang diajarkan dan menghafal rumus dan langkah yang diberikan, melainkan dengan membangun sendiri makna dari apa yang dipelajari (Sumaji,dkk, 1998: 235).
Belajar matematika dengan makna adalah satu diantara lima rumusan untuk dapat belajar dengan menyenangkan. Mengapa dalam proses belajar harus menyenangkan? Karena dengan begitu, maka proses belajar akan berlangsung sangat efektif (Hernowo, 2005 : 7). Menurut Dave Meier, dalam buku The Accelerated Learning Handbook (Dalam Hernowo, 2005 : 17), “Menyenangkan atau membuat suasana belajar dalam keadaan gembira, bukan berarti menciptakan suasana rebut atau huru-hara”. Apabila kita telaah lebih lanjut, menyenangkan menurut Meier, akan kita dapat beberapa komponen pembentuknya. Pertama, bangkitnya minat. Kedua, adanya keterlibatan. Ketiga, terciptanya makna. Keempat, adamya pemahaman atau penguasaan materi. Kelima, munculnya nilai yang membahagiakan . Apabila kelima komponen pembentuk itu kita kombinasikan, maka dari suasana yang menyenangkan itu akan lahirlah sesuatu yang baru.
Komponen yang pertama adalah bangkitnya minat. Minat akan sama dengan motivasi. Menurut Mc. Donald (Sutikno, 2007), motivasi adalah perubahan energi dalam diri seseorang yang ditandai dengan munculnya feeling dan didahului dengan tanggapan adanya tujuan. Dalam kegiatan belajar, motivasi sangat diperlukan, sebab seseorang yang tidak mempunyai motivasi dalam belajar, tidak akan mungkin melakukan aktivitas belajar.
Motivasi yang merupakan komponen yang pertama, dapat mengembangkan aktivitas dan inisiatif. Dengan begitu siswa akan lebih aktif, mereka akan termotivasi untuk terlibat di dalam proses belajar mengajar. Bahkan tidak hanya terlibat, tetapi siswalah yang seharus menjadi sentral dan siswalah yang menjadi subjek belajar. (Sardiman, 2003 : 109-111). Sedangkan guru lebih berperan sebagai fasilitator dan moderator, daripada penceramah.
Setelah siswa termotivasi dan terlibat aktif dalam proses belajar, maka yang selanjutnya apakah proses belajar tersebut dapat menetap dalam, memorinya? Sesuatu yang dapat menetap dalam memori dalam jangka waktu yang cukup lama adalah sesuatu yang bermakna, sesuatu yang mengesankan (Hernowo, 2005 : 21). Jadi apabila pembelajaran itu kering, monoton, dan hampa dari hal-hal yang membuat suasana menjadi segar dan ceria, tentulah akan sulit menciptakan makna dalam suatu pembelajaran. Pembelajaran bermakna akan erat kaitannya dengan dengan materi.
Idealnya Apabila komponen pertama sampai ketiga sudah dumiliki, maka akan mudah untuk memiliki komponen yang keempat, yaitu materi. Pemberian materi ini juga tidak akan terlepas begitu saja dengan proses pembelajaran yang inovatif. Mungkin materi dapat dikemas dalam bentuk cerita atau games. Dan yang terakhir dari pembelajaran yang menyenangkan adalah bahagia atau senang. Berkaitan dengan belajar, bahagia adalah keadaan terbebas dari tekanan, ancaman dan ketakutan. Rasa bahagia yang muncul di dalam diri siswa dapat juga terjadi karena dia merasa mendapat sesuatu setelah proses belajar mengajar. Dan sesuatu itu adalah konsep matematika.
Ingin tahu banyak tentang cara menyelesaikan soal soal matematika dengan mudah , cepat dan tepat ? Silahkan Klik Disini

Matematika : MOMOK , FUNNY atau MOMOK FUNNY ? (2)

Matematika, Sulit ? 
Kalau memang sulit , kenapa tidak dipelajari dengan lebih keras sehingga kesulitan itu bisa teratasi ?
Sebuah pertanyaan yang sangat mudah diucapkan, tapi susah dilaksanakan. Secara umum siswa ingin pintar matematika, tapi siswa  ( beberapa siswa ) tidak mau belajar lebih lama,  lebih keras dan latihan lebih banyak, Kenapa ? Jawabannya yang paling gampang adalah MALAS, PUSING, BOSAN dan lailn lain yang semuanya menghambat kemajuan siswa dalam memahami matematika lebih baik.
Sebenarnya Matematika, jika dipelajari dengan sungguh sungguh, secara rutin, dan terus menerus akan menjadi suatu pelajaran yang sangat menyenangkan. Matematika tak lebih sebagai sebuah Permainan (Game). Jika seseorang dapat memenangkan suatu Game yang diikuti, ia akan sangat merasa senang. Begitu juga dengan matematika, jika seorang siswa dapat mengerjakan dengan benar suatu soal matematika, terlebih soal tersebut dapat diselesaikan dengan susah payah, maka ketika ia dapat menyelesaikan dengan  benar maka kesenangan yang luar biasa akan dirasakan oleh siswa tersebut.
Oleh Karena itu marilah mulai sekarang lakukan hal hal sebagai berikut:
1. Ubah persepsi bahwa Matematika itu Sulit menjadi Matematika itu Asik
2. Ubah Maindset bahwa Belajar Matematika seperti belajar bermain Game
3. Berlatihlah secara rutin dan terus menerus, dari yang paling muda ke yang paling sulit sesuai dengan tingkatannya
4. Jangan pernah membenci Pelajaran Matematika, meskipun diajar oleh guru yang tidak disukai. Karena yang menarik pada pelajaran matematika adalah pada Materinya, bukan pada siapa yang menyampaikannya.
5. Buang jauh jauh Perasaan Takut dengan Matematika, ganti dengan perasaan senang dan nikmati matematika dengan penuh perasaan suka.
6. Ubah Image MOMOK pada Matematika dengan motto Matematika itu Menyenangkan ( Mathematic is FUNNY )
Jika hal hal tersebut anda lakukan, saya yakin bahwa anda akan sangat menyukai matematika lebih dibandingkan dengan pelajaran yang lain.


Ingat semboyan Berikut: Matematika itu bukan MOMOK tapi FUNNY atau  MOMOK FUNNY.
Jika anda ingin menjadikan matematik suatu yang menyenangkan dan ingin menguasai banyak hal tentang matematika khususnya tingkat SMP, silahkan Klik disisni
 



Cara cepat menyelesaikan soal Persamaan Garis (2)

Menyambung tulisan sebelumnya yaitu Cara cepat menyelesaikan soal Persamaan Garis (1), berikut saya jelaskan cara cepat menyelesaikan soal tentang persamaan garis lurus. 
1. Persamaan garis lurus  melalui dua titik . Perhatikan soal berikut ini: 
Tentukan Persamaan garis yang melalui titik A(7,3) dan B(4,1)
Penyelesaian:
 


Ada beberapa Keuntungan Dengan menggunakan cara tersebut, diantaranya:
1. Kita tidak perlu mencari gradien garis yang melalui 2 titik
2. Resiko kesalahan lebih kecil, karena langkah langkah langkahnya lebih sederhana
3. Jika titik titiknya merupakan paduan bilangan bulat seperti ( 2,6), atau (4 , -3 ) dan lain lain, maka dalam perhitungan akan terhindar dari bentuk pecahan.
4. Hanya diperlukan keterampilan mengalikan dua bilangan dan mengurangkan dua bilangan. 
5. Penyelesaian menjadi lebih mudan dan sederhana.
Demikian, Cara cepat menyelesaikan soal Persamaan Garis (2).